\section*{Aufgabe 2}
\begin{enumerate}
	\item $1243$ mod $45$ \\
		  $45 \cdot 27 = 1215 \Rightarrow 1243 - 1215$ mod $45 = 28$ mod $45$
		  
	\item $-1243$ mod $45$ \\
		  $45 \cdot -27 = -1215 \Rightarrow -1243 - (-1215)$ mod $45 = -28$ mod $45 = 17$ mod $45$
		  
	\item $-45$ mod $1243 = 1243 - 45$ mod $1243 = 1198$ mod $1243$
	
	\item $ggT(ggT(1547,455),39)$ \\ [0.2 cm]
		  \underline{Nebenrechnung 1 $ggT(1547,455)$:} \\ [0.2 cm]
		  Da $1547 > 455 \Rightarrow ggT(1547-455, 455) = ggT(1092,455)$ \\
		  Da $1092 > 455 \Rightarrow ggT(1092-455, 455) = ggT(637,455)$ \\
		  Da $637 > 455 \Rightarrow ggT(637-455, 455) = ggT(182,455)$ \\
		  Da $455 > 182 \Rightarrow ggT(182, 455-182) = ggT(182, 273)$ \\
		  Da $273 > 182 \Rightarrow ggT(182, 273-182) = ggT(182,91)$ \\
		  Da $182 > 91 \Rightarrow ggT(182-91, 91) = ggT(91,91)$ \\
		  $\Rightarrow$ $ggT(1547,455) = 91$ \\ [0.2 cm]
		  \underline{Nebenrechnung 2 $ggT(91,39)$:} \\
		  Da $91 > 39 \Rightarrow ggT(91-39, 39) = ggT(52, 39)$ \\
		  Da $52 > 39 \Rightarrow ggT(52-39, 39) = ggT(13, 29)$ \\
		  $\Rightarrow$ $ggT(91,39) = 1$ ($13$ und $29$ Primzahlen) \\ [0.2 cm]
		  $\Rightarrow$ $ggT(ggT(1547, 455), 39) = 1$
		  
	\item $ggT(235,124) = ggT(235-124, 124) = ggT(111, 124) = ggT(111, 124-111) = ggT(111, 13) = 
		  ggT(111-13, 13) = ggT(98, 13) = ggT(85, 13) = ggT(72, 13) = ggT(59, 13) = 1$ ($59$ und $13$ Primzahlen)
	
	\item $ggT(235, 124) = 235x + 124y$ mit $x, y \in \Z$ \\
		  $235 = 1*124 + 111 \Leftrightarrow 111 = 1*235 - 1*124$ \\ [0.2 cm]
		  $124 = 1*111 + 13 \Leftrightarrow 13 = 1*124 - 1*111 = 1*124 - 1*(1*235 - 1*124) = 1*124 - 1*235 + 1*124 = 2*124 - 1*235$ \\ [0.2 cm]
		  $111 = 8*13 + 7 \Leftrightarrow 7 = 1*111 - 8*13 = 1*(1*235 - 1*124) - 8*(2*124 - 1*235) = 1*235 - 1*124 - 16*124 + 8*235 = 9*235 - 17*124$ \\ [0.2 cm]
		  $13 = 1*7 + 6 \Leftrightarrow 6 = 1*13 - 1*7 = 1*(2*124 - 1*235) - 1*(9*235 - 17*124) = 2*124 - 1*235 - 9*235 + 17*124 = 19*124 - 10*235$ \\ [0.2 cm]
		  $7 = 1*6 + 1 \Leftrightarrow 1 = 1*7 - 1*6 = 1*(9*235 - 17*124) - 1*(19*124 - 10*235) = 9*235 - 17*124 - 19*124 + 10*235 = 19*235 - 36*124$ \\ [0.2 cm]
		  $\Rightarrow$ $ggT(235, 124) = 235*19 + 124*(-36) = 1$ $\Rightarrow$ $x = 19$ und $y = -36$
		  
\end{enumerate}